Mercator kartprojektion. Projektioner i kartografi

Titta på den här kartan och berätta vilket territorium som är större: Grönland, markerat med vitt, eller Australien, markerat med orange? Det verkar som att Grönland är minst tre gånger större än Australien.

Men när vi tittar på referensboken är vi förvånade över att läsa att Australiens yta är 7,7 miljoner km 2 och Grönlands yta är bara 2,1 miljoner km 2. Så Grönland verkar så stort bara på vår karta, men i verkligheten är det ungefär tre och en halv gånger mindre än Australien. Om du jämför denna karta med en jordglob kan du se att ju längre ett territorium är från ekvatorn, desto mer sträcks det ut.

Kartan vi tittar på byggdes med hjälp av en kartografisk projektion, som uppfanns på 1500-talet av den flamländska vetenskapsmannen Gerardus Mercator. Han levde i en tid då nya handelsvägar byggdes över haven. Columbus upptäckte Amerika 1492, och den första världsomseglingen under Magellans ledning skedde 1519–1522 - när Mercator var 10 år gammal. Öppna marker måste ritas in på kartor, och för detta var det nödvändigt att lära sig att avbilda en rund jord på en platt karta. Och kartorna måste göras på ett sådant sätt att det skulle vara bekvämt för kaptenerna att använda dem.

Hur använder kaptenen kartan? Han planerar en kurs längs den. Navigatörer från 1200-1500-talen använde portolans - kartor som avbildade Medelhavsbassängen, såväl som Europas och Afrikas kuster som ligger bortom Gibraltar. Sådana kartor var markerade med ett rutnät av rhumbs - linjer med konstant riktning. Låt kaptenen behöva segla på öppet hav från en ö till en annan. Han applicerar en linjal på kartan, bestämmer kursen (till exempel ”mot syd-sydost”) och ger rorsmannen order att hålla denna kurs enligt kompassen.

Mercators idé var att bevara principen att rita en kurs med hjälp av en linjal och på en världskarta. Det vill säga, om du håller en konstant riktning på kompassen, så blir banan på kartan rak. Men hur gör man det? Och här kommer matematiken kartografen till hjälp. Mentalt skär jordklotet i smala remsor längs meridianerna, som visas i figuren. Varje sådan remsa kan vikas ut på ett plan utan mycket förvrängning, varefter den kommer att förvandlas till en triangulär figur - en "kil" med böjda sidor.

Globen visar sig dock vara dissekerad, och kartan ska vara kontinuerlig, utan skärningar. För att uppnå detta delar vi upp varje kil i "nästan rutor". För att göra detta, från kilens nedre vänstra punkt, rita ett segment i en vinkel på 45° till höger sida av kilen, därifrån ritar vi ett horisontellt snitt till vänster sida av kilen - skär av den första kvadraten . Från den punkt där snittet slutar ritar vi igen ett segment i en vinkel på 45° till höger sida, sedan ett horisontellt till vänster, skär av nästa "nästan kvadrat" och så vidare. Om den ursprungliga kilen var mycket smal, kommer "nästan rutorna" endast att skilja sig något från riktiga rutor, eftersom deras sidor kommer att vara nästan vertikala.

Låt oss slutföra de sista stegen. Låt oss räta ut "nästan rutorna" till en riktig fyrkantig form. Som vi förstår kan förvrängningarna göras så små som önskas genom att minska bredden på kilarna som vi skär jordklotet i. Låt oss sätta kvadraterna som ligger intill ekvatorn på jordklotet i en rad. Vi kommer att placera alla andra rutor på dem i ordning, först sträcker vi dem till storleken på ekvatorialrutorna. Resultatet är ett rutnät av kvadrater av samma storlek. Sant, i det här fallet kommer paralleller som är lika fördelade på kartan inte längre att vara lika fördelade på jordklotet. När allt kommer omkring, ju längre den ursprungliga kvadraten på jordklotet var från ekvatorn, desto större förstoring genomgick den när den överfördes till kartan.

Vinklarna mellan riktningarna med denna konstruktion kommer dock att förbli oförvrängda, eftersom varje kvadrat praktiskt taget bara har ändrats i skala, och riktningarna ändras inte när bilden helt enkelt förstoras. Och det var precis vad Mercator ville ha när han kom med sin projektion! Kaptenen kan rita ut sin kurs på kartan med hjälp av en linjal och styra sitt skepp längs denna kurs. I det här fallet kommer fartyget att segla längs en linje som går i samma vinkel mot alla meridianer. Denna linje kallas rhoxodrom .

Att simma längs en loxodrome är mycket bekvämt eftersom det inte kräver några speciella beräkningar. Det är sant att en rhoxodrom inte är den kortaste linjen mellan två punkter på jordens yta. En sådan kortaste linje kan bestämmas genom att dra en tråd på en jordglob mellan dessa punkter.

Konstnären Evgeniy Panenko

Visningar: 9 375

Den konforma cylindriska Mercator-projektionen är den huvudsakliga och en av de första kartprojektionerna. En av de första, så är den andra att använda. Innan dess uppkomst använde de den ekvidistanta projektionen eller geografiska projektionen av Marnius av Tyrus, som först föreslogs år 100 f.Kr. (2117 år sedan). Denna projektion var varken lika stor eller likvinklig. Relativt exakta på denna projektion var koordinaterna för platserna närmast ekvatorn.

Utvecklad av Gerardus Mercator 1569 för att sammanställa kartor som publicerades i hans " Atlas». Projektionsnamn " likvinklig" betyder att projektionen bevarar vinklar mellan riktningarna, så kallade konstanta kurser eller rullvinklar. Alla kurvor på jordens yta i den ekvikantiga cylindriska Mercator-projektionen avbildas med raka linjer.

"... UTM-kartprojektionen utvecklades mellan 1942 och 1943 i den tyska Wehrmacht. Dess utveckling och utseende utfördes troligen i Abteilung für Luftbildwesen (Aerial Photography Department) i Tyskland... sedan 1947 har den amerikanska armén använt en mycket liknande system, men med en standardskalfaktor på 0,9996 vid den centrala meridianen, i motsats till den tyska 1,0.

Lite teori (och historia) om Mercators konforma cylindriska projektion

I Mercator-projektionen är meridianerna parallella, jämnt fördelade linjer. Paralleller är parallella linjer, vars avstånd nära ekvatorn är lika med avståndet mellan meridianerna och ökar när de närmar sig polerna. Således blir skalan av distorsion mot polerna oändlig, av denna anledning är syd- och nordpolen inte avbildade på Mercator-projektionen. Kartor i Mercator-projektionen är begränsade till områdena 80° - 85° nordlig och sydlig latitud.

"Projiceringen Universal Transverse Mercator (UTM) använder ett 2-dimensionellt kartesiskt koordinatsystem... det vill säga den används för att bestämma en plats på jorden, oavsett platsens höjd...

Alla linjer med konstanta kurser (eller punkter) på Mercator-kartor representeras av raka segment. Två egenskaper, likvinklighet och raka bäringslinjer, gör denna projektion unikt lämpad för användning i nautisk navigering: kurser och bäringar mäts med en kompassros eller gradskiva, och motsvarande bäring överförs enkelt från punkt till punkt på ett sjökort med hjälp av en parallell linjal eller ett par nautiska gradskivor för att dra linjer.

Namnet och förklaringen definierade av Mercator på sin världskarta Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: " Ny, utökad och korrigerad beskrivning av jorden för användning av sjömän" indikerar att den var speciellt utformad för maritimt bruk.

Tvärgående Mercator-projektion.

Även om metoden för att konstruera projektionen inte förklaras av författaren, använde Mercator troligen en grafisk metod, som överförde några av de romblinjer som tidigare ritats på jordklotet till ett rektangulärt rutnät (ett rutnät som bildas av latitud- och longitudlinjer), och sedan justering av avståndet mellan parallellerna så att dessa linjer blev raka, vilket skapade samma vinkel med meridianen, som på jordklotet.

Utvecklingen av Mercators kartografiska konforma projektion representerade ett stort genombrott inom 1500-talets nautiska kartografi. Dess introduktion var dock långt före sin tid, eftersom äldre navigations- och lantmäterimetoder inte var kompatibla med dess användning i navigering.

Två stora problem förhindrade dess omedelbara användning: oförmågan att bestämma longitud till sjöss med tillräcklig noggrannhet, och det faktum att sjöfartsnavigering använde magnetiska snarare än geografiska riktningar. Det var först nästan 150 år senare, i mitten av 1700-talet, efter att den marina kronometern uppfanns och den rumsliga fördelningen av magnetisk deklination blev känd, som Mercator-kartans konforma projektion accepterades fullt ut inom sjöfarten.

Gauss-Kruger-kartans konforma projektion är synonymt med den tvärgående Mercator-projektionen, men i Gauss-Kruger-projektionen roterar cylindern inte runt ekvatorn (som i Mercator-projektionen), utan runt en av meridianerna. Resultatet är en konform projektion som inte håller rätt riktningar.

Den centrala meridianen är i den region som kan väljas. Längs den centrala meridianen är förvrängningar av alla egenskaper hos objekt i regionen minimala. Denna projektion är mest lämplig för att kartlägga områden som sträcker sig från norr till söder. Gauss-Krugers koordinatsystem är baserat på Gauss-Kruger-projektionen.

Gauss-Krugers kartprojektion är helt lik den universella tvärgående Mercator-projektionen; bredden på zonerna i Mercator-projektionen är 6°, medan i Gauss-Kruger-projektionen är bredden på zonerna 3°. Mercator-projektionen är bekväm för sjömän att använda, och Gauss-Kruger-projektionen är bekväm för markstyrkor i begränsade områden i Europa och Sydamerika. Dessutom är Mercator-projektionen 2-dimensionell, och noggrannheten för att bestämma latitud och longitud på en karta beror inte på höjden på platsen, medan Gauss-Kruger-projektionen är 3-dimensionell, och noggrannheten för att bestämma latitud och longitud är ständigt beroende av platsens höjd.

Före slutet av andra världskriget var detta kartografiska problem särskilt akut, eftersom det komplicerade frågorna om interaktion mellan flottan och markstyrkorna under gemensamma operationer.

Ekvatorial Mercator-projektion.

Är det möjligt att kombinera dessa två system till ett? Det är möjligt att den tillverkades i Tyskland mellan 1943 och 1944.

Projektionen Universal Transverse Mercator (UTM) använder ett 2-dimensionellt kartesiskt koordinatsystem för att ge en plats på jordens yta. Liksom den traditionella latitud- och longitudmetoden representerar den en horisontell position, det vill säga den används för att bestämma en plats på jorden, oavsett höjden på platsen.

Historia om uppkomsten och utvecklingen av UTM-kartaprojektionen

Den skiljer sig dock från denna metod i flera avseenden. UTM-systemet är inte bara en kartprojektion. UTM-systemet delar in jorden i sextio zoner, var och en med sex longitudgrader, och använder en korsande tvärgående Mercator-projektion i varje zon.

De flesta amerikanska publicerade publikationer anger inte den ursprungliga källan till UTM-systemet. NOAA:s hemsida hävdar att systemet har utvecklats av US Army Corps of Engineers, och det publicerade materialet, som inte gör anspråk på härkomst, verkar vara baserat på denna bedömning.

"Skalförvrängning ökar i varje UTM-zon när gränserna mellan UTM-zoner närmar sig. Det är dock ofta bekvämt eller nödvändigt att mäta ett antal platser i ett rutnät när några av dem är belägna i två intilliggande zoner...

En serie flygfoton som hittats i Bundesarchiv-Militärarchiv (militärsektionen av det tyska federala arkivet) verkar dock ha inskriptionen UTMREF med logiska koordinatbokstäver och siffror, och visas enligt den tvärgående Mercator-projektionen, från 1943 - 1944. Detta fynd ger utmärkta bevis för att UTM-kartaprojektionen utvecklades mellan 1942 och 1943 av den tyska Wehrmacht. Dess utveckling och utseende utfördes troligen av Abteilung für Luftbildwesen (Aerial Photography) i Tyskland. Därefter, från 1947, använde den amerikanska armén ett mycket liknande system, men med en standardskalfaktor på 0,9996 på den centrala meridianen, i motsats till den tyska 1,0.

För områden inom USA användes Clarke-ellipsoiden från 1866. För andra delar av jorden, inklusive Hawaii, användes International Ellipsoid. WGS84-ellipsoiden används nu ofta för att modellera jorden i ett UTM-koordinatsystem, vilket innebär att den nuvarande UTM-ordinaten vid en given punkt kan skilja sig med upp till 200 meter från det gamla systemet. För olika geografiska regioner, till exempel: ED50, NAD83, kan andra koordinatsystem användas.

Före utvecklingen av det universella transversella Mercator-projektionskoordinatsystemet visade flera europeiska länder användbarheten av rutnätskonform kartografi (lokal vinkelbevarande) kartografi för sina territorier under mellankrigstiden.

Beräkning av avstånd mellan två punkter på dessa kartor kan enkelt göras i fält (med Pythagoras sats), jämfört med den möjliga användningen av trigonometriska formler som krävs av ett rutnätbaserat system av latitud och longitud. Under efterkrigsåren utvidgades dessa koncept till Universal Transverse Mercator/Universal Polar Stereographic System (UTM/UPS), som är ett globalt (eller universellt) koordinatsystem.

Transversal Mercator-projektionen är en variant av Mercator-projektionen, som ursprungligen utvecklades av den flamländska geografen och kartografen Gerardus Mercator 1570. Denna projektion är konform, vilket innebär att vinklar bevaras och därför tillåter att små områden bildas. Det förvränger dock avstånd och område.

UTM-systemet delar jorden mellan 80° sydlig latitud och 84° nordlig latitud i 60 zoner, varje zon lika med 6° longitud i bredd. Zon 1 täcker longituder från 180° till 174° W (väst); Numreringszonen ökar österut mot zon 60, som täcker longituder från 174° till 180° Ö (östlig longitud).

Var och en av de 60 zonerna använder en tvärgående Mercator-projektion, som kan kartlägga ett mer nord-sydligt område med låg distorsion. Genom att använda smala zoner med 6° longitud (upp till 800 km) i bredd och reducera skalfaktorn längs den centrala meridianen till 0,9996 (1:2500 reduktion), hålls mängden distorsion under 1 del av 1000 inom varje zon . Skalförvrängningen ökar till 1,0010 vid zongränserna längs ekvatorn.

I varje zon reducerar den centrala meridianskalfaktorn diametern på den tvärgående cylindern för att producera en korsande projektion med två standard- eller sannskalalinjer, cirka 180 km på varje sida, och ungefär parallellt med den centrala meridianen (Arc cos 0,9996 = 1,62° vid ekvatorn). Skalan är mindre än 1 inom standardlinjer och större än 1 utanför dem, men den totala förvrängningen hålls till ett minimum.

Skalförvrängning ökar i varje UTM-zon när gränserna mellan UTM-zoner närmar sig. Det är dock ofta bekvämt eller nödvändigt att mäta ett antal platser i ett rutnät när några av dem är belägna i två intilliggande zoner.

Runt gränserna storskaliga kartor(1:100 000 eller mer) koordinater för båda intilliggande UTM-zoner skrivs vanligtvis ut inom ett minsta avstånd av 40 km på vardera sidan av zongränsen. Idealiskt bör koordinaterna för varje position mätas på rutnätet för den zon där de är belägna, och skalfaktorn för de fortfarande relativt små närfältsgränserna kan överlappas av mätningar in i den intilliggande zonen en bit bort när det behövs.

Latitudband är inte en del av UTM-systemet, utan snarare en del av det militära referenskoordinatsystemet (MGRS). De används dock ibland.

Ellipsoidal Mercator-projektion.

Varje zon är uppdelad i 20 latitudinella band. Varje latitudinell remsa är 8 grader hög och börjar med blockbokstäver med " C" vid 80°S (sydlig latitud), ökar i det engelska alfabetet till bokstaven " X", hoppar över bokstäverna" jag"och" O"(på grund av deras likhet med siffrorna ett och noll). Sista intervallets latitud, " X", förlängs ytterligare 4 grader, så att den slutar på 84° nordlig latitud, och täcker därmed den nordligaste delen på jorden.

Slutsats om Mercator Map Projection (UTM/UPS)

Bandbredd" A"och" B"existerar verkligen, precis som ränder" Y"och" Z" De täcker de västra och östra sidorna av Antarktis respektive Arktis. Det är bekvämt att komma ihåg att varje bokstav som föregår " N" i alfabetisk ordning - zonen är på södra halvklotet och alla bokstäver efter bokstaven " N" - när zonen är på norra halvklotet.

Kombinationen av zon och latitudband avgör rutnätszonen. Zonen spelas alltid in först, följt av latitudbandet. Till exempel kommer positionen i Toronto, Kanada, att vara i 17:e och latitudzonen " T", alltså hela referensnätzonen" 17T" Rutnätszoner tjänar till att definiera gränserna för oregelbundna UTM-zoner. De är också en integrerad del av det militära koordinatsystemets referensnät. Metoden används också för att helt enkelt lägga till N eller S efter zonnumret för att indikera det norra eller södra halvklotet (till de planerade koordinaterna, tillsammans med zonnumret, är allt som behövs för att bestämma positionen, utom på vilket halvklot).

Mercator projektion

Den konforma cylindriska projektionen föreslogs och användes först 1569 av den holländska kartografen Mercator.

För att härleda formlerna för denna projektion bestämmer vi först skalan genom paralleller i den enklaste av cylindriska projektioner i den så kallade kvadratiska projektionen. I denna projektion bildar meridianer och paralleller dragna genom samma antal grader i longitud och latitud ett rutnät av kvadrater på kartan, och längderna längs alla meridianer och ekvatorn bevaras (likvidistant projektion).

Låt PC0A0 och PD0B0 (Fig. 1) vara meridianer på ett klot med radien R med en oändlig skillnad i longitud, och låt de räta linjerna

Ris. 1. Två meridianer och två paralleller på jordklotet och på kartan i cylindrisk projektion

CA och DB är motsvarande meridianer på kartan i en kvadratisk projektion.

Då kommer ett infinitesimalt segment C0D0 med en godtycklig parallell med latitud och radie r på jordklotet att motsvara ett infinitesimalt segment CD på kartan, och en skala längs parallellen

CD = AB = A0 B0 ,

Där A0B0 är ekvatorns båge.

Eftersom förhållandet mellan cirkelbågarna är lika med förhållandet mellan deras radier, alltså

Från OS 0MED", Var OS 0MED"= Vi har

Därav,

Det framgår av formeln att den parallella skalan i en kvadratisk projektion varierar från enhet till oändlighet, och den är lika med enhet vid ekvatorn (vid = 0°), och oändlig vid polpunkten (vid = 90°). Polen i en kvadratisk projektion representeras av ett rät linjesegment lika långa som ekvatorn.

Nu, för att göra skalan längs meridianerna lika med skalan längs paralleller (m=n), d.v.s. för att gå från en kvadratisk projektion till en konform (från distorsionellipser till cirklar), är det nödvändigt att sträcka meridianerna av kvadratisk projektion vid varje punkt så många gånger som gånger parallellerna för denna projektion ökas i förhållande till motsvarande paralleller av jordklotet, d.v.s. med tider. För att som en första approximation omvandla ett kvadratiskt kartografiskt rutnät till ett kartografiskt rutnät av en konform projektion, är det följaktligen nödvändigt att multiplicera meridiansegmenten OA, AB, BC, etc. (Fig. 2) i enlighet därmed.

Ris. 2. Omvandling av ett kvadratiskt utsprång till ett konformt cylindriskt

med 1, 2, 3, etc., där 1,2, 3 är latituderna för dessa segments mittpunkter. Då kommer meridiansegmentet OS1 i en konform projektion, motsvarande segmentet OS i en kvadratisk projektion, att representeras av uttrycket

OS1 = OA1 + A1 B1, + B1C1 = OA 1 + AB 2 + FÖRE KRISTUS. 3 ,

Och eftersom segmenten

OA = AB = BC,

OS 1 =OA (1+2+3).

Meridiansegment OS 1 kommer att bestämmas ju mer exakt ju mindre segmenten som utgör den tas, eftersom sträckningen av meridianerna måste vara kontinuerlig från ekvatorn till en given parallell.

Det mest exakta resultatet kommer att erhållas när meridiansegmentet D i Mercatorprojektionen består av summan av ett oändligt stort antal oändligt små storheter

,

Var Dx- ett infinitesimalt segment av meridianen i en kvadratisk projektion,

DD- motsvarande infinitesimala segment av meridianen i Mercators konforma projektion. Men på grund av skalans beständighet längs meridianerna i en kvadratisk projektion, segmentet

Summan av infinitesimala storheter i högre matematik kallas en integral. Att ta integralen av båda sidor av en jämlikhet innebär att man tar summan av oändligt små värden av dessa delar av jämlikheten inom vissa gränser.

Integral av uttryck inom latitudvärdet från 0 till Låt oss skriva det så här

Som ett resultat av integration på vänster sida av jämlikheten får vi meridiansegmentet D; den högra sidan av likheten är en tabellintegral lika med

Alltså meridiansegmentet

,

där C är integrationskonstanten.

Värdet C måste vara konstant för alla breddgrader, så det kan enkelt bestämmas genom att ta = 0°. Vid = 0° motsvarar parallellen ekvatorn, för vilken D = 0, d.v.s.

Därav,

Genom att gå från den naturliga logaritmen till den decimala och uttrycka D på huvudkartskalan och i centimeter, kommer vi att ha den slutliga arbetsformeln för att beräkna meridiansegmentet D i en konform cylindrisk projektion för en boll

(29)

Var Mod=0,4343.

Formeln visar att meridiansegmentet D för polen ( = 90°) är lika med oändlighet, det vill säga att polen inte kommer att avbildas på kartan i denna projektion.

Om vi ​​tar jorden som en ellipsoid kommer vi att ha formeln

(30)

Där a är radien för ekvatorn för jordens ellipsoid (uttryckt i meter),

U är samma värde som i formel (22) för den ekvikantiga koniska projektionen.

Avstånden mellan meridianerna i en konform projektion, såväl som i en kvadratisk projektion, bestäms av formeln

Var uttrycks i radianmått. Om vi ​​tar jorden som en ellipsoid och uttrycker den på huvudkartskalan och i centimeter, kommer vi att ha

Denna formel skrivs ofta i formen

(31)

Var U- avstånd från kartans mittmeridian till den som bestäms,

°-skillnaden mellan longituderna för medelvärdet och fastställda meridianer, uttryckt i grader, °=57°,3.

Uppenbarligen kommer förvrängningar i en konform cylindrisk projektion på en tangentcylinder att uttryckas av formlerna

(32)

För att beräkna meridiansegmenten D, ordinaterna y och skalorna i en konform cylindrisk projektion på en sekantcylinder kommer arbetsformlerna att ha formen

(34)

(35)

(37)

Där r0 är radien för den parallella sektionen med latitud 0 på jordens ellipsoid,

r-radie parallell med latitud på jordens ellipsoid, genom vilken skalan bestäms,

Huvudkartskala,

° - skillnaden i longitud för medelvärdet och fastställda meridianer, uttryckt i grader.

Kartrutnät i Mercator-projektion

För att konstruera ett kartografiskt rutnät i Mercator-projektionen och plotta referenspunkter på kartan som kompileras, är det nödvändigt att känna till de rektangulära koordinaterna (meridiansegmentet D och ordinatan y) för skärningspunkterna för meridianer och paralleller och referenspunkter.

Medelvärdet på D för latitudsargumentet väljs från speciella tabeller som sammanställts av Marinens hydrografiska direktorat, och värdet på y beräknas med formeln (35).

Ursprunget till koordinaterna på sjökorten tas som skärningspunkten mellan den mellersta meridianen och huvudparallellen till havsbassängen för vilken kartorna är uppställda. Denna parallell är en sektionsparallell och dess skala är lika med ett.

Genom att känna till de rektangulära koordinaterna för hörnen i hörnen på kartbladets ram, hitta dimensionerna på sidorna av denna ram som skillnaden i meridiansegmenten D för de södra och norra parallellerna och skillnaden i värdena på y för de västra och östra meridianerna. Baserat på de hittade måtten på sidorna byggs en rektangel (arkets inre ram), som kommer att ligga till grund för att konstruera mellanliggande meridianer och paralleller på kartan, samt för att rita referenspunkter.

Meridianer och paralleller i Mercator-projektionen avbildas som parallella och ömsesidigt vinkelräta räta linjer, så för att konstruera dem räcker det med att bestämma meridiansegmenten D. För skärningspunkterna för kartans paralleller med X-axeln och y-axeln för skärningspunkterna för kartans meridianer med Y-axeln. När dessa värden hittas, bestäm skillnaderna D - Dyu och y - y3 för de angivna punkterna. Här är Dyu meridiansegmentet för den södra breddgraden, och uz är ordinatan för den västra meridianen. Dessa skillnader läggs från toppen av det sydvästra hörnet av ramen längs de västra och södra sidorna och linjer dras genom deponeringspunkterna, parallella med de södra respektive laterala sidorna, vilket kommer att vara kartans paralleller och meridianer .

Fig 3 Kartrutnät i konform cylindrisk projektion (Mercator)

I fig. Figur 3 visar ett kartrutnät i en konform cylindrisk projektion (på en tangentcylinder) för att avbilda jordklotet. Skalvärdena i denna projektion ges i tabell 4.

Tabell 4

Skalor i den konforma cylindriska Mercator-projektionen.

På grund av det faktum att Mercatorprojektionen är likvinklig, och meridianerna avbildas i den som parallella räta linjer, har den en anmärkningsvärd egenskap: en linje som skär alla meridianer i samma vinkel avbildas i denna projektion som en rät linje. Denna linje kallas rhoxodrome. Ett fartyg i rörelse, om det håller samma kurs med hjälp av en kompass, följer faktiskt en rhoxodrom. Denna egenskap hos Mercator-projektionen har lett till att den används i stor utsträckning för sjökort.

Ris. 4. Ortodrom och rhoxodrom på kartan i Mercator-projektionen

Ortodrom och rhoxodrom

Med hjälp av en karta som ritats upp i Mercator-projektionen är det enkelt och enkelt att markera ett fartygs väg och bestämma dess konstanta kurs, det vill säga i vilken riktning det måste röra sig för att ta sig från en punkt till en annan. Fartygets konstanta kurs bestäms genom att man mäter med en gradskiva vinkeln mellan den räta linjen som förbinder dessa punkter på kartan och en av meridianerna.

Det bör dock noteras att med ett stort avstånd mellan punkterna A och B (fig. 4) rör sig loxodromen på sfären betydligt bort från ortodromen (det kortaste avståndet mellan dessa punkter), som är i projektionen

Ris. 5. Ortodrom och rhoxodrom mellan New York och Moskva på kartan i Mercator-projektionen.

Mercator representeras av en krökt linje. I det här fallet styr navigatören fartyget inte längs en kurs, utan längs flera, och ändrar rörelseriktningen vid vissa punkter (a och b). Fartygets väg kommer att avbildas på kartan i form av brutna linjer av ackord inskrivna i en ortodrom. I förhållande till ritningen, fartyget från punkt A till punkt A kommer att gå under azimut från punkten A till punkt b - under azimut, från punkt b till slutpunkt B - under azimut.

För tydlighetens skull kan vi indikera (fig. 5) att mellan New York och Moskva är ortodromens längd 7507 km, och loxodromen är 8371 km, d.v.s. skillnaden mellan deras längder är 864 km. Det största avståndet mellan loxodromen och ortodromen är här 1650 km.

Den andra bekvämligheten med Mercator-projektionen i dess användning för marina sjökort är att den låter dig enkelt, med tillräcklig noggrannhet för övning, bestämma avstånd i nautiska mil från kartan, utan att tillgripa att konstruera speciella skalor, utan endast använda divisioner (i grader eller minuter) tryckt på sidorna av kortramen. En nautisk mil är lika med 1852 m, vilket ungefär motsvarar den genomsnittliga meridianbågens längd på en minut.

Om det till exempel från en karta är nödvändigt att bestämma avståndet AB i nautiska mil (fig. 42), applicera sedan kompassen på närmaste sida av kartramen efter att ha tagit bort segment AB med en kompasslösning. mitten av segmentet - punkt C - är på medellatituden för punkterna A och B (vid punkt C1). Antalet meridianminuter som beräknas inom detta segment kommer att uttrycka avståndet AB i nautiska mil (i Fig. 6, segment A B = 215 miles).

Sammanfattningsvis bör det noteras att vid sammanställning av topografiska och undersökningstopografiska kartor i olika skalor används olika sjökort sammanställda i en konform cylindrisk projektion i stor utsträckning som kartografiskt material. Därför är kunskap om funktionerna i denna projektion av stor praktisk betydelse.

Ris. 6. Bestämning av avståndet AB i miles från en karta i Mercator-projektionen

Träning

Beräkna meridiansegmentet D och ordinatan "y" i en konform cylindrisk projektion på tangentcylindern för punkt c geografiska koordinater= 30°, 35° (från medelmeridianen tagen som X-axeln) vid = 1:5000000. Krasovskys ellipsoid.

Konform cylindrisk projektion - 5,0 av 5 baserat på 1 röst

Tillåter dig att överlappa konturerna av länder på andra territorier, med hänsyn till kompensation för förvrängningar av Mercator-projektionen. Denna projektion skapades en gång i navigeringssyfte - för att säkerställa den exakta relativa platsen för territorier längs nord-sydlig och väst-östlig axel. Det har dock sin egen nackdel - ju närmare polerna, desto större förvrängning. Andra projektioner har också allvarliga snedvridningar. Det är därför vår uppfattning geografisk kartaär också avsevärt förvrängd - säg att Grönland på Mercators projektionskarta upptar ett område som är tre gånger större än Australien, även om det i verkligheten är 3,5 gånger mindre (!). Och ju närmare ekvatorn, desto mindre är den relativa storleken på länder.

I allmänhet kan du på den här webbplatsen utföra alla möjliga intressanta trick och titta på metamorfoser olika länder i överlägg. Det är till och med förvånande att en sådan webbplats inte dök upp tidigare - grundidén är så bra. Ibland får man fantastiska effekter som bryter de vanliga mönstren. Alternativt kan landet roteras i en cirkel, i vilket fall även projektionskompensationer kommer att beaktas.

Låt oss se några effekter.
Här är till exempel överlagringen av några europeiska länder på de indonesiska öarna. Se hur blygsamt stort Frankrike ser ut på Kalimantan (till höger). Tjeckien ligger ovanpå södra Malaysia och Singapore (mitten), med Norge på Sumatra till vänster. Mycket lång i europeisk skala, i själva verket är den bara något längre än ön Sumatra.

2. Kina i östra Eurasien. Om vi ​​fixar dess västra gräns på linjen Tallinn - Prag, kommer öster (Manchuriet) att vara öster om Novosibirsk, och Liaodong-halvön kommer att vara någonstans i Astana-regionen. Hainan kommer att vara i centrala Iran.

3. Australien i östra Eurasien. Det är här kompensationen av Mercator-projektionen är tydligast: den sträcker sig från München till Tjeljabinsk och ännu mer från söder till norr. Här kan du se vilka kolossala ökenterritorier det finns i Australien – inte mindre än Sibiriens frusna vidder, eftersom det är befolkat mer eller mindre bara i sydost och en smal remsa i väster.

4. Mexiko om Europa. Från franska Brest nästan till Nizhny Novgorod. Och mexikanska Kalifornien sträcker sig från Normandie till Venedig.

5. Indonesien i östra Eurasien. Längden på öarna motsvarar avståndet från Nordirland till centrala Kazakstan, och Kalimantan ensamt täcker lätt hela Östersjöregionen med den ryska nordväst.

6. USA i östra Eurasien. Från Tallinn - mer än till Krasnoyarsk!

7. Kazakstan om Europa. Också i allmänhet mycket respektabel: från västra Frankrike nästan till Kharkov. Täcker större delen av den europeiska kontinenten.

8. Iran i norra Europa: från norska Lofoten till Kazan :)

9. Vietnam på Europeiska Ryssland. Vertikalt motsvarar det avståndet för tåg nr 7 Leningrad - Sevastopol, men horisontellt är det också ingenting: från Moskva till Chelyabinsk, och på ett krökt sätt.

Andra intressanta jämförelser.

10. Kamchatka och Storbritannien. Den är ganska liten: från Cape Lopatka till Palana.

11. Estland är som en tredjedel av Liberia, vilket i princip är litet.

12. Österrike, Ungern, Belgien på Madagaskar.

Låt oss nu titta på de ryska motsvarigheterna.

13. Ryssland om Australien. Om Perth ligger i Makhachkala-regionen är Melbourne någonstans nära Barnaul. Fast. Men ändå sträcker sig Ryssland nästan till Fiji.

14. Ryssland om Afrika. Kuban i regionen Sydafrika (Novorossiysk som Kapstaden) - Kamchatka når södra Anatolien, ungefär där Antalya ligger.

15. Ryssland i Sydamerika. Om Tierra del Fuego är ungefär där Tjetjenien ligger, så ligger Kamchatka i regionen Colombia och Chukotka norr om Panamakanalen. Ser du hur kolossalt vårt land är? Mer än en hel kontinent.

16. Ryssland om Nordamerika. San Francisco ligger i Krim-regionen - Chukotka är nästan nära Irland. Här kan man för övrigt tydligt se storleken på havsvidderna i Nordatlanten.

17. Luxemburg på St Petersburg. Han är inte så liten :)))

18. I detta territorium (Bangladesh, markerat med blått) - bor 168 miljoner människor!!! Kan du föreställa dig befolkningstätheten? Och detta är inte ett behagligt tempererat klimat, utan en fuktig tropisk djungel och kanalerna i Ganges och Brahmaputra...

19. Och till efterrätt - Chili längs den transsibiriska järnvägen. Som du kan se täcker den sträckan från Moskva till Baikal i en smal remsa.

Det här är några intressanta jämförelser :)

Vid lösning av navigeringsproblem blir det nödvändigt att visa fartygets kurslinje (loxodrome) på en havskarta, mäta och rita in vinklar och riktningar. Baserat på dessa uppgifter, till kartprojektionen sjökarta följande krav gäller:

Loxodromen på kartan bör avbildas som en rak linje;
- vinklar uppmätta på marken måste vara lika med motsvarande vinklar som anges på kartan, dvs. projektionen måste vara likvinklig.

Ovanstående krav är uppfyllda av den direkta ekvikantiga cylindriska projektionen som utvecklades 1569 av den holländska kartografen Gerard Kremer (Mercator).

1. Jorden ses som en sfär och en konventionell jordglob anses vara, vars skala är lika med huvudskalan.
2. Koordinatlinjer (meridianer och paralleller) projiceras på cylindern.
3. Cylinderaxeln sammanfaller med den konventionella jordglobens axel.
4. Cylindern vidrör en konventionell jordglob längs ekvatorlinjen.
5. Meridianerna och parallellerna för en konventionell glob projiceras på cylinderns yta på ett sådant sätt att deras projektioner förblir i meridianernas och parallellernas plan.
6. Efter att ha skurit cylindern längs generatrisen och vikit ut den till ett plan, bildas ett kartografiskt rutnät - ömsesidigt vinkelräta räta linjer: meridianer och paralleller.

7. Cylindern berör ett konventionellt klot längs ekvatorn, därför visas cirkeln Ao1 på ekvatorn på kartan av cirkeln A1.
8. När paralleller projiceras sträcks de ut, och ju längre parallellen är från ekvatorn (ju större geografisk latitud), desto större är sträckan: cirklarna Ao2 och Ao3 på kartan avbildas som ellipserna A2, A3, d.v.s. den resulterande projektionen är inte likvinklig.
9. För att ellipserna A2 och Az ska förvandlas till cirklar A2" A3" är det nödvändigt att förlänga meridianen vid varje punkt i proportion till parallellens sträckning vid en given punkt.
Ju större latitud, desto mer sträcks parallellen, och därför bör meridianen sträckas ut.
10. Som ett resultat kommer identiska cirklar på jordklotet, belägna vid olika paralleller, att avbildas på kartan som cirklar av olika storlekar, som ökar med geografisk latitud.

Den grafiska representationen på kartan av en minuts meridianbåge (nautisk mil) ökar med latitud.

Därför är det nödvändigt att använda den delen när man mäter och lägger avstånd linjär skala kartor, på vars breddgrad fartyget seglar.

Den sålunda erhållna projektionen är:
- rak - cylinderns axel sammanfaller med jordens rotationsaxel;
- ekvikantig - en elementär cirkel på jordens yta avbildas på kartan som en cirkel (likheten mellan figurerna är bevarad);
- cylindrisk - det kartografiska rutnätet (meridianer och paralleller) består av inbördes vinkelräta räta linjer.

Projektionsekvationen för en boll är:

X = Rin tg (45" + φ/2); y = R X;

När man erhöll en projektion motsvarade huvudskalan huvudskalan för den villkorliga jordklotet, det vill säga när man projicerade på en cylinder, fanns det inga förvrängningar på linjen längs vilken cylindern berörde jordklotet - på ekvatorn.

När man gjorde kartor i denna projektion visade sig detta vara otillräckligt bekvämt. Därför valde vi för varje latitudinell zon en projektionslinje på vilken det inte finns några förvrängningar - huvudparallellen. Den parallell där skalan är lika med huvudskalan kallas huvudparallellen. Latituden för huvudparallellen på en given karta anges i karttiteln.